数学、とくに群論において、群 G における部分群 H の指数 (index) は G における H の「相対的な大きさ」である。同じことだが、G を埋め尽くす H の「コピー」（剰余類) の個数である。例えば、H が G において指数 2 をもてば、直感的には G の元の「半分」は H の元である。H の G における指数は通常 |G : H| あるいは [G : H] あるいは (G:H) で表記される。 部分群の指数 2 の任意の部分群は正規部分群である。一般に、有限指数 n をもつ G の部分群 H は、その正規核と呼ばれる、 G における指数が n! (2Gの定義は次) $3$ 次の対称群 $\mathfrak S_3$ の $\sigma (1) = 2,$ $\sigma (2) = 1,$ $\sigma (3) = 3,$ $\tau (1) = 1,$ $\tau (2) = 3,$ $\tau (3) = 2$ なる元 $\sigma,$ $\tau$ は \[ (\tau\sigma )(1) = 3 \neq 2 = (\sigma\tau )(1)\] から $\tau\sigma \neq \sigma\tau$ を満たすので, $\mathfrak S_3$ は可換でない.

概要次の命題を証明する。命題指数2の部分群は正規部分群である。なお、次のことは説明なしに使う。・群の定義・部分群・同値関係また、群 g とその部分群 h⊂g… 左辺を変形すると2g+H=Hより 2g∈Hである.gは任意であるので2G⊂Hとなる. [定理]gの部分群hの指数が2の部分群は正規部分群である。 即ち、[G:H]=2⇒H：正規部分群 [証明]G=H+gH=H+Hgは、Gの右剰余類と左剰余類への分割である。 (1) 指数2の部分群をHとするとGがアーベル群であることからHは正規部分群である.また,Hの指数が2であるから|G/H|=2である.よって任意のg∈Gに対して (g+H)+(g+H)=Hである. を割り切るような G の正規部分群 K を含む。 この群は $3!