(iv) T は連結であり, 全ての辺は「橋」である. グラフ理論2005 担当: 大学院情報科学研究科井上純一 定理9.1 点n 個からなるグラフT を考えるとき, 次の各命題は同値である. このグラフの点数はn =5,辺数はm =8であり, それぞれの点の次数はdeg(P)= deg(T) = 3, deg(Q) = deg(S) = 4, deg(R)=2である. SciPyの関数scipy.sparse.csgraph.connected_components()を使うと、グラフ（無向グラフ・有向グラフ）の連結成分の個数を取得して、連結グラフであるかを判定したりできる。scipy.sparse.csgraph.connected_components — SciPy v1.3.0 Reference Guide ここでは以下の内容について説明する。 グラフの連結成分の個数; 二部グラフ判定; 木の走査; トポロジカルソート; サイクル検出; といった多様な処理たちがほとんど同じようなコードを使い回すだけで解けることを示します！ グラフgが連結でな いとき, gのそれぞれの連結な部分グラフを連結成分という. メジャーなグラフ探索手法には深さ優先探索 (depth-first search, DFS) と幅優先探索 (breadth-first search, BFS) とがあります1。このうち DFS については 1. (iii) T は連結であり, 辺がn−1 本ある. つまり、 とある連結グラフを非連結にするために取り除く必要のある頂点の数 が 連結度 となります。 先程のグラフの場合、2個の頂点を取り除くことで非連結にできますよね。 グラフ理論2003 ～2007 北海道大学大学院情報科学研究科井上純一 P T Q S R 図1.1: この講義で扱う「グラフ」の一例. gの連結成分の個数を連結成分数と いい,!(g)で表す. DFS (深さ優先探索) 超入門！ 〜 グラフ理論の世界へ 〜 【前編】 2. (2) 連結度（点連結度） k-連結グラフ の の最大値のことを連結度（点連結度）と呼び、 で表します。. グラフの連結性と連結成分 概要. グラフの連結成分＝枝で結ばれている頂点の集合 異なる連結成分に 含まれる頂点を枝で結ぶ 閉路は出来ない 異なる連結成分を結ぶ枝 を繰り返し加えていく 全域木が得られる. (ii) T には閉路は無く, 辺がn−1 本ある. 今日の目標.. 「木」を理解する 木の定義を理解する 木の基本的な性質を理解し，証明できるようになる グラフの全域木を理解する 証明技法 数学的帰納法の使い方を理解して，使えるようになる 岡本吉央(電通大) 数理解析(10) 2012 年12 月11 日 3 / 45 グラフの連結成分の個数 3. グラフがどの程度かたく結びついているかを示す不変量として連結度があり、主に点連結度 (vertex-connectivity) と辺連結度 (edge-connectivity) に分類される。また、グラフ全体の連結度 (それぞれ、辺連結度) について、指定した2点間に対する連結性を示す不変量として、局所点連結度 (local vertex-connectivity) (それぞれ、局所辺連結度 (local edge-connectivity) ) がある。点連結度 (それぞれ、局所点連結度) は単に連結度 (それぞれ、局所連結度) と呼ぶ場合があることを付記しておく。 閉路を含まない連結グラフを木という. グラフの二点間の到達可能性 2. グラフG=(V, E) を表現するデータ構造 接続行列--- 領域計算量O(mn) 隣接行列--- 領域計算量O(n2) 2次元配列を使う 実現は簡単 疎なグラフに対して無駄が多い 隣接リスト--- 領域計算量O(m+n) 複数の連結リストを使う 実現は少し複雑 どのグラフに対しても無駄がない (i) T は木である. DFS (深さ優先探索) 超入門！ 〜 グラフ理論の世界へ 〜 【後編】にて詳しく特集しました。これらの記事中で幅優先探索 (BFS) についても簡単に触れているのですが、今回改めて特集します。特に、後編で紹介した 1. 二 … グラフが連結であるとは, 任意の2頂点を結ぶパスが存在することである. 今回もグラフ理論における基本的な用語をまとめています。グラフの連結、連結成分について、完全グラフ、2部グラフ、完全2部グラフ、正則グラフ、補グラフについて、グラフの同型についてまとめています。最後に確認用の練習問題付きです。 図のグラフGのa,fの連結成分の個数w（G) は何個ですか？また、グラフGは連結グラフですか？私の教科書では、グラフGで、｛y∈V(G)|d(x,y)<∞｝となる誘導部分グラフを、xを含むGの連結成分と呼ぶ。連結成分が一つのものを連結グラフと呼ぶ、と説明しています。 V(G)は、グラフGの頂点の集 …