6 代数学基礎B が成り立つとき, 1S を左単位元(left identity) という. 極大イデアルや素イデアルの例として、多項式環のイデアルからいくつかを挙げ、剰余環が実際にどのような体や整域になるのかを … 環 R の極大左イデアル（きょくだいひだりいである、英: maximal left ideal）とは、R 以外の左イデアルの中で（集合の包含関係に関して）極大なもののことである。すなわち、左イデアル I を真に含む左イデアルが R しかないときに I を R の極大左イデアルという。極大右イデアルおよび極大両側イデアルも同様に定義される。これらのイデアルは（環が 0 でなく単位元をもつとき）ツォルンの補題によって存在が保証される 。可換環においては、左・右・両側の区別はない。唯一の極大左イデアルをもつ環は 半群Sに, 左単位元1S と右単位元1′ S が存在すれば1S = 1 S であ ることを示せ. 極大イデアルをただ一つしか持たない環を局所環と呼ぶ。 多項式環の例 . 問題5.2.1 有理整数環Z のイデアルは非負整数n があって(n) という形をしていることを示せ。また、 剰余環Z=(n) が体となるための条件を求めよ。 問題5.2.2 k を任意の体としてk 上1変数多項式環R = k[x] を考える。このR におけるイデアルは、あ
r を可換環、i をイデアルとする。 このとき、剰余環 が、整域や体となるイデアル i の満たすべき条件を考える。. Z[ω]: アイゼンシュタイン整数環。 Z (p): 整数環の素イデアル (p) ≠ 0 における局所化 。非自明なイデアルは (p e) の形で表せる。 K: 任意の体。 K[X]: 体 K 上の一変数多項式環 。実は逆も成り立つ（多項式環 A[X] が PID となるならば A は体である）。 剰余環Z=(n) が体となるための条件を求めよ。 問題5.2.2 k を任意の体としてk 上1変数多項式環R = k[x] を考える。このR におけるイデアルは、あ る一つの多項式p(x) があって(p(x)) と書けることを証明せよ。 多項式環の素イデアルが k n の既約部分多様体に対応する。 環の拡大 r ⊂ r[x] の性質.
が整域であることは、以下のことと同値である。 命題 により、 が体であることと、 の 0 でないイデアルは、 のみであることは同値である。 可換環論における基本的な手法の一つは、環の性質をその部分環の性質に関連付けることである。 r ⊂ s なる記法で環 r が環 s の部分環であることを示唆することにする。 #極大イデアル #部分群の指数 #素イデアル #ガロア拡大とガロア群 ... 5月14日 環論：既約多項式と多項式環の素イデアル 5月16日 体論：ガロア群が3 . 数学ピエロ～極大イデアルと素イデアル～勉強しているときは”そうだ！”と分かったつもりになってしまっても、実はよく分かってなかったなんてことはよくあります。（私だけかもしれませんが。。。）その中の一つが極大イデアルと素イデアルの違い。 同様にして, ある元1′ S 2 Sが存在して (ii") x 1′ S = x (8x2 M) が成り立つとき, 1′ S を右単位元(right identity) という. 素イデアルと極大イデアル.