x,\ y,\ z$を実数とするとき,\ 次の不等式を証明せよ. ・小平『解析入門I』§1.3(p.21) ・杉浦『解析入門I』§1命題1.2-3(p.4) ・神谷・浦井『経済学のための数学入門』定義2.2.2(p.67). ・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』2.3.26-i(p.59); ‖x→‖+‖y→‖≥‖x→+y→‖ Lp ノルムは代表的なノルムです。 |x1|p+|x2|p+⋯+|xn|pp が上の3つの性質を満たすことは簡単に確認できます。（3つ目については→ミンコフスキーの不等式とその証明）
ノルムとはいろいろなものの「大きさ」を表す量です。より正確に言うと（実数上のベクトル空間 V に対しては）任意の x,y∈V と任意の実数 a に対して以下の3つの性質を満たす関数のことです。 1. の定義より, 変形すると, とおくと, で, である。 実際, とすると, ( 三角不等式より) (より) ( より) なので, 結論 ：開球 は の開集合である。

任意の \( x, y, z \in \mathbb{R}^n \) について \( d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z) \) (三角不等式)。 最初の3つは距離 \( d(x, y) \) の定義より明らかです。 最後の式、三角不等式を証明してみます。 証明 をとる。, , で表す。 平方根の定義より, である. 不等式 $|x|+|y| \geqq |x+y|$ を「三角不等式」(triangle inequality)と呼ぶ. 不等式の基本的な証明のやり方. 上野竜生です。三角不等式を導出します。ここでいう三角不等式とは三角関数の方ではなく三角形の成立条件に関する式です。大学に入るとこの不等式は何度も出てきますので結果を暗記することも重要です。三角不等式\(|x|-|y| \leq |x+y|

証明にはいろいろな方法がありますが、ここでは三角不等式の簡単な証明方法を紹介します。 まず、実数 \(x\) の絶対値は、定義から次の通りです。
‖ax→‖=|a|‖x→‖ 3. 不等式であれば、与式のような大小関係になるのは確定しています。しかし、証明ではその 大小関係が分からないものとして扱います 。 実際に計算 してみて、 与式通りの大小関係があることを示す 必要があります。 が距離の定義を満たしていることを確認していけばよい。. \\[.2zh] 以下で簡単に説明しておくが,\ 数\text{B}:ベクトルの知識を要する. 三角不等式の証明とその応用xをx+y,\ yを-yに置き換える}と yをy+zに置き換える}と を\bm{三角不等式}という. この三角不等式から，逆に数の絶対値の不等式も「三角不等式」と呼んでいる． 絶対値記号の不等式を，数の性質だけで証明するのはかなり面倒な作業となるが，ベクトルの三角不等式は，内積の定義から，容易に証明される． ‖x→‖=0⟺x→=0 2. （1）が距離関数の3条件を満たすことを確認する。 条件1と2は、明らかであるので、3の三角不等式が成り立つことを証明しよう。 証明すべき式は、 ｜x－y｜＋｜y－z｜≧｜x－z｜ である。 不等式であれば、与式のような大小関係になるのは確定しています。しかし、証明ではその 大小関係が分からないものとして扱います 。 実際に計算 してみて、 与式通りの大小関係があることを示す 必要があります。 この不等式は、三角不等式と呼ばれるものです。一般的に、三角形の一辺の長さは、他の二辺の長さの和を超えることはありません（二頂点間をまっすぐ行くのが一番の近道だからです）。例題の不等式は、これをベクトルで書いているだけです。 以上より, に対し、 とおくと、 である。 (シュワルツの不等式より) 以上より, . [文献] ・吉田-栗田-戸田『昭和62年文部省検定済:高等学校数学I』啓林館,4章3.(p.104.) （1）が距離関数の3条件を満たすことを確認する。 条件1と2は、明らかであるので、3の三角不等式が成り立つことを証明しよう。 証明すべき式は、 ｜x－y｜＋｜y－z｜≧｜x－z｜ である。 [文献] ・吉田-栗田-戸田『昭和62年文部省検定済:高等学校数学I』啓林館,4章3.(p.104.) 証明.

この不等式は、三角不等式と呼ばれるものです。一般的に、三角形の一辺の長さは、他の二辺の長さの和を超えることはありません（二頂点間をまっすぐ行くのが一番の近道だからです）。例題の不等式は、これをベクトルで書いているだけです。 ・小平『解析入門I』§1.3(p.21) ・杉浦『解析入門I』§1命題1.2-3(p.4) ・神谷・浦井『経済学のための数学入門』定義2.2.2(p.67).

\\[.2zh] これは,\ 三角形の成立条件と関連している. $2$ 点 $\mathrm P(x,y),$ $\mathrm P'(x',y')$ に対して, \[ d(\mathrm P,\mathrm P') = |x'-x|+|y'-y|\] を $\mathrm P,$ $\mathrm P'$ の「マンハッタン距離」(Manhattan distance)と呼ぶ.

ユークリッドは平面幾何における三角不等式を図のような構成を用いて証明した: 三角形 abc に対して、一辺 bc を共有する二等辺三角形をもう一つの等辺 bd の足が辺 ab の延長上にあるように作る。 すると角について β > α が言えるから、さらに辺について ad > ac も言える。 また,. 以上のことから，三角不等式が証明できました。 証明は大分大変な計算になりました。こういった証明を理解するには，上の計 算を目で追うだけでなく，自分で紙に書いていくのがよい。試みてほしい。 … ※ 距離空間 の記事 はこちら. 証明 ： をとる. 不等式の基本的な証明のやり方. ・永倉･宮岡『解析演習ハンドブッ ク[1変数関数編]』2.3.26-i(p.59); 以上より, . 不等式の証明で相加平均と相乗平均の大小関係を使うコツについて。高校生の苦手解決Q＆Aは、あなたの勉強に関する苦手・疑問・質問を、進研ゼミ高校講座のアドバイザー達がQ＆A形式で解決するサイトです。【ベネッセ進研ゼミ高校講座】