上の積分経路より、 になる。 c1上の積分 2. に沿う線積分という。またこれを lim S = Z C (u d x y)+i +)= f z)d (5.10) と書く。これが複素平面上の積分路 C に沿った複素積分である。 例 29 始点を z =0 、終点を = 1+i とする以下のいくつかの積分路（図 5.3 ）に沿って、関数 f (z)= を定義に従って積分してみよう。 に沿う線積分という。またこれを lim S = Z C (u d x y)+i +)= f z)d (5.10) と書く。これが複素平面上の積分路 C に沿った複素積分である。 例 29 始点を z =0 、終点を = 1+i とする以下のいくつかの積分路（図 5.3 ）に沿って、関数 f (z)= を定義に従って積分してみよう。 曲線を表す場合、\(x\) と \(y\) をパラメータを使って表示すると見通しが良くなることが多いです。 これを曲線 \(C\) に沿った線積分 (line integral) といいます。 この場合曲線 \(C\) のことを積分経路といいます。 \(x\) と \(y\) をパラメータ表示する場合. 第5回 複素積分(線積分、コーシーの積分定理) 実数の積分に基づいて、複素積分を定義する。 また、応用上も重要なコーシーの積分定理 H C f(z)dz = 0 (f(z): 経路C 内で解析的)を導入する。 5.1 複素積分の定義 実数の積分は、区分求積法に基づいて定義される。 線積分は複素解析の手法である留数計算と密接に関連している 。 上野竜生です。数学検定1級で複素積分を使うことはほぼないと思いますができたほうが早いときもありますので少し説明しておきます。複素積分の2パターンパターン1：\(z=Re^{i\theta} \)とおいて半円で積分(実際はこの部分の計算は省略 複素積分は美しい定理が目白押しです. 右図のような複素数平面上での周回積分と経路c 2, c 4 の積分が計算できれば，r→∞, r→0の極限により実軸上の積分c 3 とc 1 の和が求まることになります． 一般に，上記の(1)(2)においてr→∞のときに，半円上の経路での積分が0になることが多い． 解答 複素関数を . 第7 章例題 複素積分とCauchyの積分定理 7.1 実変数複素数値関数の定積分 例題7.1 w(t)=eit を0 ≤ t≤ πで積分せよ。 定義に従って，w(t) を実部と虚部に分け，それぞれを積分する。 π 0 eit dt = π 0 costdt+i π 0 sintdt sint−icost π 0 =2i 例題7.2 次の積分の値を求めよ。 ただし，m, nは整数。 I この被積分関数 \( 1/(x^4+1) \) の変数の範囲を実軸以外にも広げて複素関数だと考える。この関数の特異点は \( (\sqrt{2}/2)( \pm 1 \pm i ) \) という、原点を中心にした単位円上にある 4 点である。そして次のようなコースでの複素積分を考える。 複素積分 複素数の入り口の話は飛ばして(知っているとして)、複素積分まわりの話を見ていきます。ついでにいくつか複素数 の関係も載せています。 数学的な証明はかなり省いて、実用上必要になる部分を取り出しています。 リーマン積分 \(y= f(x)\)を閉区間\([a\le x\le b]= a\le x\… 複素線積分について。∫c （cosz）dz 、でCは半円|z|=π の-πi から πi まで。という問題で、 答えは、2i*shinh(π)なのですが、これを、別の方法で解くことはできますか？道の利用をして同じ結果を導きたいのですが、出来ません。 では微分のときと同様, 実関数の復習からいきましょう. 目次 複素関数の積分 リーマン積分 線積分 周回積分 面積分 例題解答 複素関数の積分 さて複素積分にいきましょう. 複素平面 実数の集合は数直線で表わされたが、複素数は2 つの実数x;y の組によって書けるから、2 次元平面に よって表現できる。この2 次元平面を複素平面とよぶ。平面上の点は極座標によっても表現できるから、複素数も 「極表示」が可能である。 目次 複素関数の積分 リーマン積分 線積分 周回積分 面積分 例題解答 複素関数の積分 さて複素積分にいきましょう. 赤線の経路 上で であり、例題の実積分に対応する。 半円の半径は として、図の矢印の向きに複素積分を実行する。. では微分のときと同様, 実関数の復習からいきましょう. を、複素関数の一周積分を活用して求められる場合がある。 図20のように、実軸の区間C1 = fxj R x Rgと、半円C2 = fzjz = Rei (0 < < ˇ)gか ら構成される経路C = C1 +C2 を考える。 留数定理より、経路C に沿った一周積分の値は、経路C の内部に存在する特異点での留数の和 複素関数の変数はもはや実数の一直線の上に縛られてはいないのだから、複素積分では複素平面の上を自由に動きたい。しかし自由すぎても困る。それで、複素平面上の 2 点を指定することで積分範囲を定めることにしてみよう。 章 複素積分の応用 この積分では半径 r の半円を上半平面で閉じたが、下半平面で閉じてもよ い。そのとき e i z =z の極 z =0 は積分路の内にある。極からの寄与、半円周か らの寄与を正しく計算すれば同じ値を得る。 例 44 I = Z 1 1 d x 1+ x 2: (6.29) 1 = (1 + z 2) の極は i 。例 42 の積分路 C 1 （図 6.3 被積分関数は偶関数であるので，積分は R 0 1 x4 +1 dx = 1 2 R −R 1 x4 +1 dx から，R→∞の極限として求められる。そこで，複素関数 f(z)= 1 z4 +1 を考え，図12.1 に示すように，実軸に半円Γ を加えた閉曲線C に沿った複素積分を行 う。このとき，実関数の積分は R 0 1 x4 +1 dx = 1 2 C 1 z4 +1 dz− Γ 1 z4 +1 面白いですよ. 面白いですよ. 複素解析における線積分（せんせきぶん、英: line integral ）とは、複素平面内の道に沿った積分であり 、特に道が単純閉曲線の場合の線積分を周回積分（しゅうかいせきぶん、英: contour integral ）ということがある。. これを曲線 \(C\) に沿った線積分 (line integral) といいます。 この場合曲線 \(C\) のことを積分経路といいます。 \(x\) と \(y\) をパラメータ表示する場合.

とおく。複素平面全体で特異点は である（ は を除いて複素平面全体で正則である。.

複素積分は美しい定理が目白押しです. リーマン積分 \(y= f(x)\)を閉区間\([a\le x\le b]= a\le x\…