位相空間論あるいは解析学において、距離空間 M が完備（かんび、英: complete）またはコーシー空間（コーシーくうかん、英: Cauchy space）であるとは、M 内の任意のコーシー点列が M に属する極限を持つ（任意のコーシー点列が収束する）ことを言う。

||∞)が距離空間になることは，既知だから，問題なのは完備性だけ． 完備性とは，任意のコーシー列が収束することをいう．ここでの収束は一様収束の意味 完備性 5 証明. 定義4.14.

2.5 開集合と閉 ... 1.2. 位相空間(x;o) およびa ‰ x に対して, (1) x 2 x がa の触点とは次が成り立つこと: 8u 2 nx, u \ a 6= ;. 全く 同様にして位相空間の閉集合を定義する. 特に空でない完備距離空間は第 2 類集合である。 一方、第1類集合と第2類集合を用いない言い方は次のとおりである。 可算個の閉集合 `F_n sub X (n=1, 2, cdots)` を用いて、空でない集合 `X` が `X = uuu_(n=1)^oo F_n` （0） と表されたならば、`F_n` のうちの少なくとも一つは内点を含む。 ベールの範 … 1.2. ある0 < r < 1が存在して jan+2 an+1j ⩽ rjan+1 anj を満たす数列an は収束する。定理1を用いてこのことを示せ。 定理2. 完備距離空間(X,d)において、Xの部分距離空間(A,dA)が完備となることとAがXの閉集合であることが必要十分条件であることを示せ。という問題をあてられたのですがわかりません。解答をお願い します。よろしくお願いします。 集合と位相第一講義資料10 3 v ⊂ w ⊂ v となる閉集合w はw = v のみである． • v ⊂ x が閉集合であるための必要十分条件はv = v が成り立つことである． 定義10.15.

完備性 5 証明. 多項式全体はC[0;1] で稠密になります．すなわち，区間[0;1] における有理 数の役割を果たします． 定理2 (Weierstrass) C[0;1]の中で多項式全体P[0;1]は一様ノルムについ て稠密である． 定理1 C[0;1] は一様ノルムから定まる距離についてBanach 空間である． 証明. 完備距離空間と例【連続性の公理】 数学 Math 2018.8.6 開集合の定義と性質【距離空間】 数学 Math 2018.8.4 コーシー列で収束する部分列をもつならば収束列; 数学 Math 2018.8.16 内部と開集合の定義と …

4.3 閉集合 距離空間では, "-近傍を用いて触点, 閉包, 閉集合が定義されたことを思い出そう. [実数の完備性] 実数からなるCauchy列an は、必ずある実数 に収束する。 問題1. 完備距離空間と例【連続性の公理】 数学 Math 2018.8.6 開集合の定義と性質【距離空間】 数学 Math 2018.8.4 コーシー列で収束する部分列をもつならば収束列; 数学 Math 2018.8.16 内部と開集合の定義と … 参照）．また，完備性の代わりに局所コンパクト性を仮定しても定理9.1.2の結論は正 しい（証明の方針も同様）． 2) 完備距離空間の第二類部分集合が内点を持たないこともある（例えばrでのr\q; 問9.1.1,問9.1.2参照）.その意味で「定理9.1.2の逆」は不成立． Rの部分集合Aが与えられたとき、点a∈Rの任意の近傍がAと交わるならば、すなわち、∀ε>0:Uε(a)∩A≠ϕが成り立つならば、aをAの触点（adherent point）と呼びます。なお、点の近傍の定義を踏まえると上の条件は、∀ε>0:(a−ε,a+ε)∩A≠ϕと言い換え可能です。つまり、点aを中心とする任意の開区間がAと交わるということです。

定義1.5 A ⊂ Rn は部分集合．A = Ai ∪ Af をA の閉包という．A の元をA の触点と いう． 命題1.5 a ∈ A ⇐⇒ ∀ ε>0, B n(a;ε)∩ A = ∅. 定理1 C[0;1] は一様ノルムから定まる距離についてBanach 空間である． 証明.

定理1. Rの部分集合Aに対して、その補集合AcがRの開集合ならば、すなわち、∀a∈Ac, ∃ε>0:Uε(a)⊂Acが成り立つ場合には、AをRの閉集合（closed set）と呼びます。点の近傍の定義を踏まえると、これは、∀a∈Ac, ∃ε>0:(a−ε,a+ε)⊂Acと言い換え可能です。つまり、Acに属するそれぞれの点について、その点を中心とする有界開区間の中にAcの部分集合が存在するということです。閉集合の定義より、Rの任意の部分集合Aについて、(a) AはRの閉集合⇔AcはRの開集合(b) AはRの閉集合ではない⇔AcはRの開集 … また、開集合の補集合は閉集合 ... また、開集合の任意個の和集合も開集合になり、(→証明) 2つの開集合の共通部分も開集合になります。 →証明) だから、 $\displaystyle{(1,3)}$と$\displaystyle{(2,4)}$の和集合である$\displaystyle{(1,4)}$も、開集合ですし、 $\displaystyle{(1,3)}$と$\displaystyle{(2,4)}$の共通 …