いう (図 5.1) 。今後、混乱のない場合、ジョルダン閉曲線を単に閉曲線という。 5.2 複素積分 5.2.1 複素積分の定義 複素平面内の曲線に沿った複素関数の積分（複素積分）を定義しよう。 領域 D 内で連続な複素関数 f (z) 複素関数の基礎のキソ （13講＋補講2） 川平 友規 東京工業大学大学院理工学研究科数学専攻 Email: kawahiraAmath.titech.ac.jp (A=@) 第12 章 実関数の定積分 複素関数の積分を実関数の定積分に利用することができる。実関数f(x) の値は，複素関数f(z) のz= x+ i0 の場合の値とみなせる。 そこで，f(z) が複素平面で定義された関数であると考 えて，適当な閉曲線Cを選んで，留数定理を応用して実関数の定積分の値を求める。 1 第1章 量子力学の復習と径路積分 1.1 シュレーディンガー方程式の復習 1.1.1 シュレーディンガー方程式の作り方 まず、そもそもシュレーディンガー方程式は、どのようにして得られたのかを考えよう。 右図のような複素数平面上での周回積分と経路c 2, c 4 の積分が計算できれば，r→∞, r→0の極限により実軸上の積分c 3 とc 1 の和が求まることになります． 一般に，上記の(1)(2)においてr→∞のときに，半円上の経路での積分が0になることが多い． そこで今回は不定積分をせずに複素解析の力を使って定積分\[\int^{\infty}_{- \infty} \frac{1}{x^4+1} \ dx \]の値を出す話を考えてみましょう。 と言っても「複素解析なのになんで実関数の積分？？」って思うかもしれません。 2．実関数の積分に必要な複素解析の道具 先ほど区間がルベーグ収束定理1の場合で反例を2つ挙げました．これらは積分と極限が交換しないので，この新しい定理を適用できてしまっては困ります（もし適用できたとしたら積分と極限は交換できなければなりません）．
この結果は，Riemann-Stieltjes積分に一般化できます（参考：Rudin）． 2. fn=n∑k=1gkfn=∑k=1ngkを考えれば，級数にも適用できます．以下で， 1.

「有界」の仮定は除けない 2. いう (図 5.1) 。今後、混乱のない場合、ジョルダン閉曲線を単に閉曲線という。 5.2 複素積分 5.2.1 複素積分の定義 複素平面内の曲線に沿った複素関数の積分（複素積分）を定義しよう。 領域 D 内で連続な複素関数 f (z) 3. 複素積分の値は 「 ×（留数）」： 留数定理を使っても解ける。 3. 今回は2重積分の基礎部分、および積分範囲の交換方法についてまとめています。2重積分とはどのようなものなのかを図などでわかりやすく説明してから実際に2重積分を計算する方法や積分範囲を交換する方法を例題や練習問題などでわかりやすくまとめています。 1. 複素積分 77 図 5.2 曲線 C の分割.

そこで今回は不定積分をせずに複素解析の力を使って定積分\[\int^{\infty}_{- \infty} \frac{1}{x^4+1} \ dx \]の値を出す話を考えてみましょう。 と言っても「複素解析なのになんで実関数の積分？？」って思うかもしれません。 2．実関数の積分に必要な複素解析の道具 複素積分 77 図 5.2 曲線 C の分割.

右図のような複素数平面上での周回積分と経路c 2, c 4 の積分が計算できれば，r→∞, r→0の極限により実軸上の積分c 3 とc 1 の和が求まることになります． 一般に，上記の(1)(2)においてr→∞のときに，半円上の経路での積分が0になることが多い． 第12 章 実関数の定積分 複素関数の積分を実関数の定積分に利用することができる。実関数f(x) の値は，複素関数f(z) のz= x+ i0 の場合の値とみなせる。 そこで，f(z) が複素平面で定義された関数であると考 えて，適当な閉曲線Cを選んで，留数定理を応用して実関数の定積分の値を求める。 まとめ ローラン展開の例題として三角関数のものを扱った。ローラン展開を利用して留数を求めることで、複素積分を計算することがで … 「一様収束」の仮定は除けないことを見てみましょう． 第7 章例題 複素積分とCauchyの積分定理 7.1 実変数複素数値関数の定積分 例題7.1 w(t)=eit を0 ≤ t≤ πで積分せよ。 定義に従って，w(t) を実部と虚部に分け，それぞれを積分する。 π 0 eit dt = π 0 costdt+i π 0 sintdt sint−icost π 0 =2i 例題7.2 次の積分の値を求めよ。 ただし，m, nは整数。 I

複素積分 複素数の入り口の話は飛ばして(知っているとして)、複素積分まわりの話を見ていきます。ついでにいくつか複素数 の関係も載せています。 数学的な証明はかなり省いて、実用上必要になる部分を取り出しています。
積分路の輪の中に点 \( a \) を含むようなコースで反時計回りに一周積分すると、その積分路がどんな形をしていようとも、その積分値は \( 2\pi i \ g(a) \) で表されるというのである。これを「コーシーの積分 …