交換子積に関して閉じていて線形空間を成す元からなる集合。つまり、この集合の任意の二つの元をA,Bとし、任意の実数をx,yとすると、AB-BAやxA+yBもこの集合に含まれる。ここでは特に、歪エルミート行列からなる。 さっそく本題に入ろう。エルミートな演算子 (観測可能な量) \(a,b\)に交換関係 \[[a,b] = c\] があるとする。\(c\)は定数であっても良いし、演算子であっても良い。でも\(c=0\)では面白みが無いのでそれは無しに …

反交換子もまた演算子であり、特に ^ 、 ^ がともにエルミートであるとき、反交換子もまたエルミートとなる。反交換関係はフェルミ粒子などを扱う際に用いられる。 ポアソンの括弧式 [編集] を定め，AとBの交換子(commutator)という． また， {A;B}:= AB+BA (5) をAとBの反交換子(anti-commutator) とい う． 例．ヒルベルト空間H = Cn 上の演算子は n行n列の複素数行列である．演算子の和・ス カラー倍・積は，行列の和・スカラー倍・積に 他ならない．

二つの演算子（ ^ 、 ^ とする）に対して、 ^ ^ − ^ ^ ≡ [^, ^] を交換子 (英: commutator) と言う。交換子も演算子であり、特に ^ 、 ^ がともにエルミートであるとき、交換子は歪エルミートとなる。 量子力学において、この交換子を規定する関係が交換関係である。. jp;p0iで表そう．これらの間を結ぶ演算子が必要となる： j0i $ jpi $ jp;p0i $ このような演算子として， ^a(p): 運動量pの粒子を一個消す演算子（消滅演算子） y^a (p): 運動量pの粒子を一個生成する演算子（生成演算子） を考えよう．つまり，これらは， 昇降演算子の交換関係 . はエルミートである 固有値は実数; 縮退がない場合（異なる に対して ）; のときに(*)が成立するための条件は以下の通りである。 のとき、 であるので(*)は成立する（ は0以外でも良い） のとき、 であるので、 この条件を満たす は のとき以外は行列要素が0になった対角行列になっている。 つまり、数演算子と生成、および消滅演算子との間に次の交換関係が成り立つ。 [^n;cy] = cy; [^n;c] = c (1.5) 上の(1.5) の最初の式のエルミット共役は、交換関係の符号が変わることから、第2 式の消滅演算 子の交換関係と一致する。 昇降演算子の物理的意味を探る準備として、まずは次の主要な交換関係を導く。 \([\hat{L}_i,\hat{L}_j]=iħ \epsilon _{ijk} \hat{L}_k\)の導出 完全反対称テンソルについて. これはエルミート共役（転置複素共役）に対して反対称である。また、エルミート ... この空間におけるリー括弧積は交換子 [,] = − で与えられる。二つの交代行列から得られる交換子がふたたび交代行列となることを確かめるのは難しくない。 交代行列 a の指数函数 = = ∑ = ∞! 命題 補題 補題1・Schwarzの不等式 補題2・エルミート演算子の期待値は実数である． 補題3・反エルミート演算子の期待値は純虚数である． 命題の証明 例・位置と運動量の不確定性関係 $\require{cancel}$ 命題 エルミート演算子 $\hat{A}$，$\hat{B}$ とその交換関係 $[\hat{… 106 第6 章 角運動量 より，基本となる交換関係 [ri,p j]=δ iji¯h (6.7) が得られる． 角運動量演算子の交換関係 軌道角運動量演算子の交換関係は，位置と運動量の交換関係(6.7) から導くことができる． まず，軌道角運動量を(6.3) によって位置と運動量の演算子で表し，交換関係(6.7) を代入 エルミート演算子からユニタリー演算子を作る方法を示します。 この方法は運動量演算子の導出でも用いるので、覚えておいて損はないかと思います。 \(\hat{A}\)がエルミート演算子ならば、\(e^{i\hat{A}}\)はユニタリー演算子である。

エルミート共役をとる操作は共役線型であり、行列のエルミート共役と共通する代数関係をみたす。たと えば、 (φ) = φ ; (ϕ) = ϕ であり、ϕがエルミート共役をもつ同型写像であれば、ϕ も同型写像で(ϕ 1) = (ϕ) 1 が成り立つ。 命題14.2. 式中の\(\epsilon _{ijk}\)は、完全反対称テンソルと呼ばれるものである。添字\(i,j,k\)には数字の\(1,2,3\)のどれ … 定義. 146 8.1.3 エルミート共役，エルミート演算子 行列（一次変換）A が与えられたとき，任意のベクトルz; w に対して， (z; Aw) = (Ayz; w) (8.1.2)が成り立つような行列A yが必ず存在する．A を行列A のエルミート共役(hermitian conjugate)という．あるいはAy のことをAの随伴(adjoint)行列ともいう．両辺の複素共