完全反対称テンソルの使用方法といくつかの公式. これから，テンソルの積の各成分ごとに 規約による表現は，つぎのようになる． 上式は添え字 に対する和をとっており，行列の積計算に一致しているが，他の添え字で和をとっ たテンソルの積も，他に とおりあるが，これ以上述べない．

テンソルの和や差も依然テンソルであるから、これらの量はテンソルである。 このような操作をテンソルの対称化、反対称化という。3階テンソルの対称化、 反対称化は次のようになる： (b.1.17) (b.1.18)

以下、断りのない限り、 はそれぞれ独立に のどれかの値を取るものとします。 さて、完全反対称テンソルを使ってベクトルの外積を表してみましょう。 (2)式で定義した と の外積は、 (5) テンソルとは何だろうか？ と変換されるときに、基底は

今回はこの完全反対称テンソルをクロネッカーのデルタで展開する方法を紹介します。 公式としては面倒なのでどのように書くか、どのように考えて展開できるかを話していきます。 この記事では3階の完全反対称テンソルである"レヴィ=チヴィタの記号"について紹介します。 数学および理論物理学において、テンソルが添字の対に関して反対称 (anti­symmetric) もしくは歪対称 (skew-symmertic) であるとは、それら添字の入れ替えに関して符号が反転することを言う。また、交代的 (alternating) であるとは、それらを等しいと置いたとき零になることを言う。係数体（英語版）の標数が 2 でないときこれら二つの概念は一致する（多重線型写像の項も参照）。

対称テンソルと反対称テンソルの縮約は0になることを示そう． 2階の対称テンソル Tij と2階の反対称テンソル Skl について，この2つの添え字の縮約を行う． 記法はアインシュタインの規約を用いる． Tij Sij = - Tji Sji = - Tij Sij （添え字を付け直した） よって移行して， 2 Tij … 1.1. 2．完全反対称テンソルの独立成分の数 テンソルT κλμν において、任意の二つの添字を交換すると成分値の符号が逆になるとき、つまり が成り立つとき、そのテンソルを“完全反対称テンソル”という。この場合の独立成分の数を階数ごとに調べる。

このように変形テンソルの反対称部分は物体の形は変えない 回転 を表しています。 なお、特に ${\Omega^i}_j$ には名前はついていないようですが、強いて付けるなら 回転テンソル(rotation tensor) と … 2階の対称テンソルと2階の反対称テンソルとの間の法則; 任意の2階のテンソルは、対称テンソルと反対称テンソルの和になるのだ。 こんな事、考えた事もなかったのだ。 1.1. 転置テンソル，対称テンソル，反対称テンソル 任意のテンソル T = T i j e i Ä e j に対し次式を満たすテンソル T T = T T i j e i Ä e j を T の転置テンソルと定義する． 次式が成立する ． 注 5) 次の性質を持つテンソルを対称テンソルと呼ぶ．

によって与えられる反対称テンソルである。和は k-次対称群の全体を亙ってとる。明らかに、 T ∈ V ⊗k が反対称テンソルであるための必要十分条件は Alt(T) = T を満たすことである 。 基底をとって考えれば、和の規約を用いて ベクトルとテンソル（吉田）v2.1 2012/03/28 1.1.2.

ベクトルとテンソル（吉田）v2.1 2012/03/28 1.1.2.

テンソルとは何だろうか？ と変換されるときに、基底は