圏の骨格と選択公理 早稲田大学数学科二年 石井大海 平成24 年3 月4 日 1 要旨 選択公理と同値な命題として，圏論における骨格の 存在定理を採り上げる．そのため，まず必要となる圏 の知識を概説し，それから定理と選択公理の同値性証 選択公理と等価な命題 . ツォルンの補題と同値な命題 [編集] ツォルンの補題は三つの主要な成果と(zfにおいて)同値である ハウスドルフの極大原理; 選択公理; 整列可能定理; テューキーの補題; さらに、ツォルンの補題(または同値な命題)は数学の各分野で重要な成果を導く。例えば、 したがって, 必要なら証明なしで公理として認めざるを得ない. 選択公理と同値な命題と知られているものに、整列可能定理とツォルンの補題というものがあります。同値であることの証明は結構難しいのでここではしませんが、特にツォルンの補題は代数学でよく用いられるため、重要な命題です。 大まかには, 選択集合を用いる 選択公理と同値な命題 あるいは選択公理から導かれる命題が あわせて41コのリストになっていて かつその関係がダイヤグラムになって 記載されています。 この図を見ながらその中身や関係を 考えてみることは数学の良い訓練に なると思います。その意味で 選択公理と等価な命題 [編集] 以下の命題は全て選択公理と同値である。つまり、以下の命題のいずれかを仮定すると選択公理を証明することができるし、逆に選択公理を仮定すると以下の命題が全て証明できる。 整列可能定理 任意の集合は整列可能である。 無限個の非空集合が与えられたとき、それぞれの集合から要素を 1 つずつ順番に選び出そうとしても、集合の個数は無限であるため、そのような操作が可能であるかどうかは必ずしも明らかではありません。そのような理念上の操作が可能であることを認めることを選択公理と呼びます。 以下の命題は全て選択公理と同値である。つまり、以下の命題のいずれかを仮定すると選択公理を証明することができるし、逆に選択公理を仮定すると以下の命題が全て証明できる。 整列可能定理 任意の集合は整列可能である。 1.1. 選択公理 整列定理 ツォルンの補題 無限濃度の積 有限交叉性とフィルター 選択公理(2) 選択公理(ver.2); 2 A/ かつ 8A,B 2 A(A 6= B ) A\B =;) のとき, 集合C を 8A 2 A9c 2 A(C \A = fcg) となるようにとれる． この命題は「任意の同値関係に対して同値類の代表元の完全系がと

選択公理には同値な述べ方が何通りかある. 選択公理 整列定理 ツォルンの補題 無限濃度の積 有限交叉性とフィルター 選択公理(2) 選択公理(ver.2); 2 A/ かつ 8A,B 2 A(A 6= B ) A\B =;) のとき, 集合C を 8A 2 A9c 2 A(C \A = fcg) となるようにとれる． この命題は「任意の同値関係に対して同値類の代表元の完全系がと 2 つの命題p, qに対し, 「pかつq」という命題を考え，それを記号p^ qであらわす． 「pかつq」はp, qともに真のとき真と約束し，それ以外のときは偽と約束する． また「pまたはq」という命題を考え，それを記号p_ qであらわす．「pまたはq」 以下の命題は全て選択公理と同値である。つまり、以下の命題のいずれかを仮定すると選択公理を証明することができるし、逆に選択公理を仮定すると以下の命題が全て証明できる。 整列可能定理 任意の集合は整列可能である。 選択公理と同値な命題. 選択公理を導入すると、下記の命題(1)が証明できるそうです。（Wikipediaの選択公理の記述）命題(1):任意の二つの集合 A,B について、A から B への単射があるか、または B から A への単射がある。素人丸出しの例題で恐縮ですが、上記の 選択公理と等価な命題.

集合論の公理 7 例4. なると, この議論が通用せず, zf公理系の下で(11.11)を証明することができな い. 選択公理と同値な命題できるだけ挙げろ 1 ： 132人目の素数さん ：2011/11/05(土) 06:23:26.80 極大イデアルでもいいし、環構造入れられるのでもいい 可算選択公理で証明できるのは、「実数までの範囲内におけること」だけです。2^r の空間における選択公理と同値の命題は、証明できません。そして、それこそが、可算選択公理の美点なのです。（余計なものを証明しない。余計なものを含まない。） この公理こ そが選択公理である. 補助記号を用いた論理式z2fx;ygは，2だけを用いた論理式z= x_z= yと同値である． 1.1.5 和の公理 9y8z8w ((z2w^w2x)!z2y与えられたxに対して，xの元の元となるzをすべて含む集合yが存在するこ とを主張している．対の公理の場合と同様に，内包性公理から，xの元の元と この記事では，選択公理と呼ばれる命題の主張について解説する． 目次 1 直積と選択公理1.1 定義 4.1.1 直積1.2 定理 4.1.21.3 例 4.1.31.4 例 4.1.41.5 命題 4.1.5 選択公理I2 集合の上の選択関