前回の記事で上の多項式の既約性を確実に判定できることが分かった。本稿からいよいよ本題である可解な5次方程式の話に入っていく。特に、本稿では既約な5次多項式のGalois群がどういう性質を持つのかについて記載しようと思う。 最小分解体とGalois群 f(x)を上の既約多項式とする。 1830年代、エヴァリスト・ガロアが初めて、代数方程式の可解性の判定に、群を導入した。 アーサー・ケイリーとコーシーはこの研究を発展させ、 置換群の理論を創設した。 歴史的な2番目の源泉としては、幾何学方面からの流れがある。 巡回拡大とはその拡大のガロア群が巡回群であるということである。 つまりこの問題の構造はガロア理論によって記述されるものなのである。 またここで が素数のときにはもっと特殊な状況が起こる（後で … 群とは，1つの演算で閉じている集合のことをいいます． 例えば，整数全体の集合gは足し算という演算で閉じています． （1+2）+3 = 1+(2+3)だし， 5+(-5) = 0になるので閉じています． 群の定義 ガロア理論は「群」と「体」の理論です． 群と体. 桂利行著「代数学i 群と環」東京大学出版会 堀田良之著「代数入門群と加群」裳華房 雪江明彦著「代数学1 群論入門」「代数学2 環と体とガロア理論」日本評論社 飯高茂著「群論, これはおもしろい- トランプで学ぶ群」共立出版 ガロア理論 、楕円関数論 ... はガロア理論を用い、ニールス・アーベルによる「五次以上の方程式には一般的な代数的解 の公式がない」という定理（アーベル-ルフィニの定理）の証明を大幅に簡略化し、また、より一般にどんな場合に与えられた方程式が代数的な解の表示を持つかについての� n次巡回 拡大であり，˙ ... ロア拡大である．いま，l′=k のガロア群をg とし，中間体m′ に対応する部分 群をh とする．m′=k が可解拡大ということは，h がg の正規部分群で，か つg=h が可解群 であることを示している．このことから，h が可解群であるこ.

S5の可解な可移部分群は幸運にも，巡回群Z5，2面体群1）10，S5のSylow5部分群の正 規化群恥oの3種類に限られる，Dummitは現oによって固定される元を導入し，その元 を有理数体Qに添加することで乃oの不変体を構成した．さらに，判定条件「5次方程式

代数ii-2019年度資料| 19 定義9.9 l=k をガロア拡大，そのガロア群をg とする． (1) g が巡回群のとき，l=k を巡回拡大という． (2) g がアーベル群のとき，l=k をアーベル拡大という． (3) g が可解群のとき，l=k を可解拡大という． 系9.10 l=k を有限次ガロア拡大，m をその任意の中間体とする．