ベクトル解析における演算 grad, curl, div を一般化することは、いくつかの段階を踏んで、微分形式の文脈で考えるのが最も容易に理解できる。簡単に言ってしまえば、各演算はそれぞれ順に、0-形式、1-形式、2-形式の微分に対応するのである。回転の幾何学的解釈は、三次元における 微分と積分の順序交換. 「部分積分」はある意味「微分演算子$\ddx$を右から左へ付け替える」という計算でもある。「微分演算子を掛ける」という操作は通常の掛算とは違う。 算子x，運動量に対しては微分演算子−i¯h(d/dx) が対応し，期待値はx についての積分で 求められる。 波動関数 (9.1) で表される状態は，運動量 p を変数として表すこともできる。 領域 D において f (x, y) が連続で， y で偏微分可能であるならば， ∂ ∂ y ∫ a b f (x, y) d x = ∫ a b ∂ ∂ y f (x, y) d x . が成り立つ． 証明. 外積計算を知っているならば想像しやすいと思うが, 計算結果が積の順序に依存する場合もあるのである. 長かったので少し深呼吸とか10秒くらい休んでも大丈夫です. 微分演算子\(\nabla\)（ナブラ） まずベクトル解析において初登場するこの演算子。演算子とは何かに作用してそいつを別のものに変えるもののことです。このナブラは\(x,y,z\)軸で決まるデカルト座標系においては，次のように定義されます。 ある変数 の微分 のことを で表したものを微分演算子（演算子）と呼ぶ。 ※ 以外の微分（例えば の微分 ）も と表記することもできる 基本法則1. となる。以下ではこの結果を微分方程式を使わずに交換関係のみで導出する。 2.2 生成消滅演算子 消滅演算子（こう定義する、意味は最後の方で明らかになる）： ˆa = 1 √ 2!! 演算子の後には任意の関数 がかかっていることを忘れない! F (y) = ∫ a b f (x, y) d x とおく ∂ ∂ y ∫ a b f (x, y) d x = ∂ ∂ y F (y) = lim ⁡ k → 0 F (y + k) − F (y) k ではいままでのまとめ. 次は3番です. 演算子法の超基本法則. ; 演算子の積は順番を一般に入れ替えられないので順番に注意! 演算子の積は順番を一般に入れ替えられないので順番に注意!. 粒子の入れ替えによって波動関数の符号が変わるかどうか調べる。パウリの排他原理をスレーター行列式から導出した。また、より一般的にフェルミ粒子の反対称性から導くことも可能である。ボーズ粒子とフェルミ粒子の違いをまとめておこう。 を重ね掛けして複数回の微分を表現可能\[D^2 = \frac{d^2}{dx^2}, \ \ \ D^3 = \frac{d^3}{dx^3} \\ 「微分と積分の順番入れ替えてもいいんですか？」という質問もあった。この場合、微分はt、積分はxであって、互いに独立な量なので心配しなくても入れ替え可能。もっとも発散するような積分だと一概には言えないか。 ここで、ハミルトニアンが 大学数学で偏微分を勉強すると、ラプラシアンの極座標変換を行え。といった問題が出題されることがあると思います。この手の問題は数検1級にも出題されていました。 偏微分演算子の座標変換は、最初少し戸惑いますが、慣れてしまえばかなり簡単な問題なように感じます。 高校では積の順序関係で値が変わることがないような(可換な)代数ばかりが扱われている [1] が, 一般的には数や演算子は可換であるとは限らない. は消滅（生成）演算子である。経路積分表示を行いたいのであれば、生成消滅演 算子を数として扱うことができればよい。1 粒子のハミルトニアンにおいては、ˆp、xˆ が演算子であり、ハミルト ニアンを数にするために xˆjxi = xjxi (2) pˆjpi = pjpi (3)