8.フーリエ変換の性質(2): たたみこみと積 ― 線形時不変システムの入出力関係 8. やらない夫 さて，フーリエ変換の性質の2つめだ．「たたみこみと積の関係」あるいは「たたみこみの定理」などと呼ばれる，ものすごく重要なものだ． こんばんは。わからない問題があるので、考え方だけでも教えていただけると嬉しいです。 問題はδ関数を含む畳み込み積分 f(t)*δ(t-a)=f(a)が成り立つことを証明せよ というもの … で表されます。「畳み込み」の代わりに接合積とか合成積と呼ばれることもあります。デ ルタ関数の性質から，任意の関数とデルタ関数の畳み込みは元の関数と等しくなります。 つまり，! Q δ関数を含む畳み込み積分. 全領域で積分すると、あらゆるn に対して Z +1 1 ’n(x)dx = 1 (9) となっていなければならない。 実際には関数列f’ng は数多く存在するが、今回は以下の二つについて考えることにする。 2.1 周期関数を含む場合 デルタ関数としてよく用いられる（周期関数を含む）、
ただし, 関数f(x)が絶対可積分の関数であれば, そのフーリエ変換F(ω)が存在し, しかも F(ω)は連続な関数となることがわかっている。また, ω = 0の場合はF(0) = Z 1 ¡1 f(x)dx であり, 関数f(x)の面積そのものとなることがわかる。したがって, 通常はフーリエ解析
畳み込み積分(合成積)は、その意味は制御工学の授業で必ず出てきますので、そちらに正確な意味は譲りますが、畳み込み積分(合成積)とフーリエ変換の関係は深いもので、非常に単純明快なものです。ここでは畳み込み積分(合成積)とフーリエ変換のその関係を説明しています。 二つの関数fとgの畳み込み積分を次のように定義します。畳み込み積分のフーリエ変換は、それぞれの関数のフーリエ変換の積になります。また物理学での応用例として、線形システムの場合の計算例を示 … 制御工学の学習中に頻繁に出てくる、畳み込み積分。 matlabにも、関数「conv」として用意されている。 折角matlabが使用できる環境にあるので、matlabを 使用して畳み込み積分について学んでみる。 この記事でやること. 2. ・上記の定義で積分区間は$-\infty$ から $\infty$ となっていますが，状況によっては和を取る区間を制限する場合もあります。特に信号処理の文脈では周期関数の畳み込みが重要ですが，そのような場合には積分区間を一周期ぶんにとります。 応用 1章では畳み込み積分の定義について述べ、2章3章ではデルタ関数・矩形関数との畳み込み積分の結果を視覚的にとらえてきました。 4章では2章3章で行った操作を、「基準関数」「ズラし関数」という言葉を使ってちょっと一般化しました。 ディラックのデルタ関数とフーリエ級数の関係はオイラーの公式により、密接な関係にあることが分かります。オイラーの公式を用いることから、ここでは複素フーリエ級数が重要な役割を果たします。そして、複素フーリエ級数からディラックのデルタ関数の積分表現が導き出せるのです。 デルタ関数まとめ ... ．これと別の普通の関数との畳み込み積分を考えよう．はじめに， f の定義域と値域の次元が一致している場合を扱う． デルタ関数をともなうたたみ込み積分 (1) こんばんは。わからない問題があるので、考え方だけでも教えていただけると嬉しいです。問題はδ関数を含む畳み込み積分f(t)*δ(t-a)=f(a)が成り立つことを証明せよというものです。とりあえず公式にあてはめて∫(-∞→∞)f(τ)δ(t-a-τ)dτとして 1 時間領域たたみこみ. の関数は (−x) であるが、この負符号が鬱陶しい。 (x < 0) と書いたほうがnon-zero になる領域が明白 でわかりやすい。 3 (x) を超関数として扱うので、「性質のよい関数に掛けて積分する」操作のもとでの効果を考える。よっ ・畳み込み積分 ・畳み込み積分定理 フーリエ変換の応用 ・デルタ関数のフーリエ変換 ・方形パルスのフーリエ変換 ・デルタ関数列のフーリエ変換 偶関数 奇関数 y軸に対称な関数 原点に対称な関数